Posted 2021-05-20Updated 2021-12-02 LittleRewriter GRAPHICS25 minutes read (About 3792 words)

Games202 PBR与NPR

Real-Time Physically-Based Materials

PBR是Physically Based Rendering，是基于物理的渲染。它包括材质、光线、相机、光线传输等，模拟一切和光相关的东西。但是在Rendering这个领域，PBR很多时候被当成PBR材质。

在离线渲染中，材质发展比较快。但在实时渲染中材质的丰富程度要弱于离线渲染，主要是速度限制，质量和准确度也会差一些，比如毛发渲染。

实时渲染的PBR材质大约分成两类，一类是物体表面，也就是微表面模型和Disney Principled BRDFs；一类是在体积上定义的，比如体积云、雾。

Microfacet BRDF

一、微表面模型

再拿出这个图。F(i,o)是Fresnel项，D(h)是法线分布，只有半程向量和法线方向一致，才能很好的反射出来。

Fresnel项给出了有多少能量被反射，这取决于入射光的角度（grazing angle）。总体而言，垂直看反射的会少，掠射看角度会变多。对于金属它的反射比例会比较高。它在物理上考虑了S和P极化的效应，但是比较复杂，Schlick 给出了一个近似
$$
R(\theta) = (\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2})^2 +(1-R_0) (1-\cos \theta)^5
$$
二、NDF

NDF是微表面的法线分布。如果法线分布集中，那么微表面的发现变化不明显，表面平坦，就得到了一个Glossy的效果；如果分布比较混乱，就得到了Diffuse的效果。

为此，引入Normal Distribution Function(NDF)，有GGX、Beckmann模型等用来描述。由于方向是分布在半球上的函数，把这个函数用Projected Solid Angle描述。

Beckmann NDF是关于法线方向$h$的函数，其函数分布符合
$$
D(h) = \frac{\exp \left(-\frac{\tan^2 \theta_h}{\alpha^2}\right)}{\pi \alpha^2\cos^4 \theta_h}
$$
这是一个类似Gaussian函数的分布，$\alpha$就对应了一个roughness，$\theta_h$是半长向量$h$和法线$n$的夹角。这里假设了材质具有各向同性。Beckmann分布定义在一个坡度空间（Slope Space）上：

$\tan \theta$实际上是法线延长之后和切平面相交到顶端的距离。所以，这实际上是在一个平面上定义的Gaussian函数，而不是角度上的。由于Gaussian函数的覆盖是一个无限大区域，所以任意大函数值都对应了一个有限的角度结果，保证了不会出现面朝下的微表面。而如果定义在角度上，那么角度在90度以上，函数仍然会有对应值。分母上$\pi \alpha^2 \cos^4 \theta_h$是归一化常数，是为了保证在Projected Solid Angle上的积分值是1。

GGX NDF，也叫Trowbridge-Reitz(TR)模型，是另一种NDF模型。这个函数有一个长尾性：

它虽然衰减的很快，但是衰减到一定程度之后速度就会放缓，到了Grazing Angle仍然不是0，这就是其长尾效应。所以它在高光的周围会出现一种类似光晕的现象，并且对比较粗糙的表面来说除了高光之外的部分有一点Diffuse的感觉：

所以GGX的效果要更好一点。

Brent Burley对GGX进行了拓展，提供了一种Generialize TR(GTR)模型，引入了一个参数$\gamma$：

$\gamma$比较小的时候，接近Beckmann；$\gamma=2$就是GGX。

三、Shadowing Masking Term

接下来考虑最后一项，Shadowng-Masking Term $G(i,o,h)$。它也叫做Geometry term，解决的是微表面之间的互相遮挡。尤其是在grazing angle的时候：

越是Grazing angle，就越容易发生遮挡。从Light出发的遮挡、光线无法照射叫做shadowing，从眼睛出发的遮挡、光线无法被接收叫做Masking。这一项解决的就是变暗的操作。在垂直看的时候，应该没有这种操作；而在Grazing angle的时候，它应该剧烈减少。

如果没有G项，考虑下面的图

在边缘上，由于$D$不够小，但分母$n\cdot i$很小，BRDF就会很大，导致边缘变成白色。

常见的是Smith Shadowing Masking项，首先近似
$$
G(i,o,h) \approx G_1(i,h) G_1(o,h)
$$
然后定义$G_1$项

这样在边缘上剧烈变小，就可以有效防止边缘问题。

四、能量守恒

但是这个模型仍然存在一些问题。把物体从光滑到粗糙，发现结果是越来越暗：

但抛光和哑光理论上结果应相差无几。所以人们做了一个Uniform的环境光照，观察渲染结果，在纯色背景下理论上是看不到物体的。但是发现越来越rough的时候，出现了能量损失，物体出现了。这个测试叫做白炉测试。

这个模型之所以出问题，是因为没有考虑到多次bounce。比较严重的沟壑意味着光线打到微表面的时候，反射光更容易被其它微表面挡住，越粗糙就越容易多次弹射，所以只考虑一次bounce就会产生能量损失。Heitz等人做过基于模拟的精确方法来做多bounce，但是非常慢。

考虑到一条光线如果被遮挡，就相当于会发生另一次bounce。所以工业界常使用一种经验性的方法Kulla-County近似来补全能量。先计算
$$
E(\mu_0) = \int_0^{2\pi} \int_0^1 f(\mu_0, \mu_r, \phi) \mu_i d\mu_i d\phi
$$
这实际上是Uniform的Radiance下one bounce的出射能量结果。实际上这里的积分应该是$\cos \theta \sin \theta d\theta$（因为做了变量代换），令$\mu_i=\sin \theta$，那么上式就变成$\sin \theta d\sin \theta = \mu_i d\mu_i$。因此，需要补全的能量就是$1-E(\mu_0)$。$E$可能是和观察方向有关的，所以在一次bounce下损失的能量只需要把剩下的部分补上去，就得到了比较好的结果。由于BRDF可逆，所以补全的BRDF可以有这样的形式
$$
f_{ms}=c(1-E(\mu_i))(1-E(\mu_o))
$$
$c$是一个归一化常数。实际上，计算出来
$$
c = \frac{1}{\pi(1-E_{avg})}, E_{avg} = 2\int_0^1 E(\mu) \mu d\mu
$$
推导：

但是$E_{avg}$仍然是不可知的。所以这里又需要进行预计算了，而这里实际上只依赖于观测方向$\mu_0$和用roughness描述的BRDF。这样打成一张表，问题就解决了。

如果材质有颜色呢？这个时候，颜色本身意味着能量损失，所以可以先考虑没有颜色的情况下的损失，然后再把有颜色情况下的能量补全上去。这里定义一个平均的Fresnel项，也就是平均每次反射损失多少能量：
$$
F_{avg} = \frac{\int_0^1 F(\mu) \mu d\mu}{\int_0^1 \mu d\mu} =2\int_0^1 F(\mu) \mu d\mu
$$
对于有颜色的物体，这个值就会小于1.由于颜色被吸收的这些能量是不会参与到后续bounce中的，对此分成不同类型。

能够直接看到的能量：$F_{avg} E_{avg}$
1 bounce之后能看到的能量：$F_{avg} (1-E_{avg}) \cdot F_{avg} E_{avg}$
k bounce之后能看到的能量：$F_{avg}^k (1-E_{avg})^k \cdot F_{avg} E_{avg}$
……

最终做级数求和，得到颜色项
$$
\frac{F_{avg} E_{avg}}{1-F_{avg}(1-E_{avg})}
$$
结果相当好：

Linear Transformed Cosines(LTC)

线性变换余弦解决的也是微表面模型的问题。它主要解决的是GGX法线分布，对其他分布也是相同的。它不考虑Shadow的问题，而只计算Shading。同时，LTC解决的是多边形光源的着色。

如果没有LTC方法，就需要对光源进行采样，然后进行Shadow Test等操作。LTC的目标就是解决采样的问题。LTC方法的想法是很简单的：所有的BRDF lobe都可以变换成一个余弦函数。把多边形光源也跟着变换，定义一个新的面积光源。那么新的光源着色就和原光源是相同的。

Shading Point的BRDF是各不相同的，但是这样就转换成在固定cosine下的shading，而这个积分是在多边形范围内的，是有解析解的。

形式化的，我们可以这样表示这两个变换：

$M^{-1}(BRDF) = Cosine$
方向$M^{-1}(\omega_i) = \omega_i’$
积分域$M^{-1}(P) = P’$

首先把渲染方程表示成
$$
L(\omega_o) = L_i \int_P F(\omega_i) d\omega_i
$$
经过变换之后，
$$
\omega_i = \frac{M\omega_i’}{||M\omega_i’||}
$$
带入到渲染方程中，
$$
L(\omega_o) = L_i \int_P \cos(\omega_i’) d\frac{M\omega_i’}{||M\omega_i’||}
$$
这样，就引入了Jacobi项
$$
L(\omega_o) = L_i \int_P \cos(\omega_i’) J d\omega_i’
$$

Disney Principled BRDF

微表面模型并不擅长表现比较真实的材质。比如，在木头表面上刷一层清漆。它不会吸收光，但是光线为了进入清漆，有一部分能量直接反射，形成高光；碰到木头的物体则是Diffuse。那么它就变成了外层高光，内层Diffuse。这种多层材质并无法用Microfact模型表示。同时，微表面模型也不好用，它的参数和物理量相关，对艺术家不友好。比如金属的折射率是复数$\bold{n}-i\bold{k}$，不是很好操纵。

为此，我们需要设置一些设计原则：他们需要尽可能少的参数，参数应该在$[0,1]$之间，并且有可能小于0或大于1；比起物理参数，直观更加重要；保证一定的鲁棒性。